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Accueil du site || Thèmes || Géométrie || Les débuts de la géométrie de l’espace avec GeoGebra

L’étude de la géométrie de l’espace nécessite des représentations. Mais pour comprendre celles-ci, des éléments de théorie de géométrie de l’espace sont nécessaires… Il faut donc au démarrage aborder ces deux sujets en parallèle.

Si un matériel concret (baguettes,…) reste indispensable pour travailler dans l’espace, un logiciel comme GeoGebra peut, par son côté dynamique, aider grandement à décoder les représentations. Visualiser une section de cube dans GeoGebra 3D, par exemple, permet de la voir sous différents angles en faisant tourner le cube, ce qui peut s’avérer très utile pour ceux qui “ne voient pas” dans l’espace. Mais aucun logiciel n’est la panacée. La construction de sections avec crayon et règle, par exemple, garde tout son sens et exige des élèves une réflexion et une habileté technique incontournables. Le logiciel peut être utile pour faire chercher les élèves ou pour faciliter la correction et les explications en classe.

Dans la première activité, nous avons choisi de commencer par une vision large des sections de cube possibles. Nous proposons de faire travailler les élèves avec GGB 3D, après une réflexion préliminaire. Un soin tout particulier a été apporté à la rédaction de cette première activité afin de permettre à des élèves ne connaissant pas GGB 3D de travailler en quasi-autonomie, même si la présence et un coup de pouce du professeur resteront parfois nécessaires. La deuxième activité s’intéresse aux types de représentations. Au départ d’images données sur papier, on demande de repérer des familles de droites et leurs propriétés. La troisième activité approfondit le travail de représentation, en envisageant cette fois des cubes. Il est temps ensuite de passer aux constructions de sections de cube sur papier à l’activité 4. Nous retrouvons GGB 3D à l’activité 5 pour une activité plus dynamique sur les sections de cubes. Une activité de théorisation est à prévoir aussi. Elle peut se faire à plusieurs moments, à choisir par l’enseignant. Nous l’avons placée en fin de document, sous le titre “Faisons le point”.

Présentation des activités

Avant de se lancer dans la technique de construction d’une section de cube, il est utile d’avoir une idée des différentes formes que peut prendre cette section.

Indications méthodologiques

Cette première activité comporte 4 parties. La première (a) peut être faite en préparation à domicile. La deuxième (b) ne devrait pas prendre une heure de cours complète. Cette exploration dans l’espace physique réel aide grandement à décoder les représentations du logiciel. La troisième (c) prendrait une heure en salle informatique. Si les élèves ont fini avant la fin de l’heure, on peut leur demander de préparer une construction précise pour des cas particuliers (le cas d’un losange par exemple). La dernière partie, la synthèse devrait prendre une heure maximum.

Dans la feuille de questions, à l’étape 2, un exemple de cube a été mis pour montrer une position qui permet une recherche efficace. A l’étape 5, un exemple de solution est là pour inciter les élèves à remplir la feuille de solutions au fur et à mesure du travail sans quoi, ils risquent bien de ne pas se souvenir de tous les cas rencontrés à la fin de l’heure. On peut rendre la section plus visible en réglant l’opacité du cube sur 0. (Clic droit sur le cube dans la fenêtre algébrique/ propriétés/ couleur…)

La synthèse en classe se fera idéalement en projetant un fichier GGB, de manière à pouvoir bouger le cube et les sections pour corriger et compléter les productions des élèves. Un clic droit sur la section permet d’accéder à ses propriétés. On peut alors demander d’en créer une vue 2D en vraie grandeur. Il est indispensable aussi d’avoir un cube concret et du matériel (baguettes ,…) pour matérialiser les sections.

L’intérêt de l’activité est de dégager des propriétés de géométrie de l’espace.

Le relevé détaillé de toutes les sections possibles, les justifications ou constructions précises constituent un prolongement, certes intéressant mais pas indispensable.

Solutions

Section en forme de triangle (dessin n°1) Si le plan de section coupe trois faces entourant un même sommet, la section est nécessairement un triangle. Suivant la position des points d’intersection des arêtes avec le plan de section, le triangle peut être quelconque, isocèle ou équilatéral mais pas rectangle.

Section en forme de quadrilatère a) Le plan de section coupe deux paires de faces parallèles. Le quadrilatère le plus général obtenu dans ce cas est un parallélogramme (dessin n°4). En effet si un plan coupe deux plans parallèles, il les coupe suivant deux droites parallèles entre elles. On peut avoir le cas particulier d’un losange (dessin n°6), d’un rectangle (dessin n°3) ou d’un carré (dessin n°2) b) Le plan de section coupe une paire de faces parallèles et deux faces adjacentes. Le quadrilatère le plus général obtenu dans ce cas est un trapèze (dessin n°5). On peut avoir le cas particulier d’un rectangle ou d’un carré.

Section en forme de pentagone (dessin n°7) Si le plan coupe cinq faces du cube, il coupe nécessairement deux paires de faces opposées parallèles. Le pentagone obtenu ne peut donc être régulier ; il a deux paires de côtés parallèles.

Section en forme d’hexagone (dessin n°8) Si le plan coupe les six faces du cube, il coupe nécessairement trois paires de faces parallèles. L’hexagone obtenu a donc trois paires de côtés opposés parallèles et peut en particulier être régulier.

 

 

La représentation du cube proposée dans l’activité 1 est familière aux élèves et est utilisée spontanément. Néanmoins, les différents types de représentations de situations spatiales ne sont en général pas bien connus et compris. Prendre du recul, en comparant les projections centrale et parallèle est bien utile. Nous le proposons au départ d’images dans l’activité 2 et ensuite sur des cubes à l’activité 3. La synthèse est établie ensuite.