Recherche

Accueil du site || Thèmes || Analyse || Deux propriétés importantes des exponentielles

Ces fichiers sont à exploiter après avoir défini l’exponentielle. Ils illustrent une propriété déjà vue et permettent de conjecturer la forme de la dérivée et l’apparition du nombre "e".

On aura déjà vu que la valeur de la base est le facteur d’accroissement de l’image quand la variable augmente d’une unité et on pourra conjecturer que la dérivée est proportionnelle à la fonction.

Dans ce premier fichier , on a la fonction exponentielle de base 2 dans les deux fenêtres graphiques. Dans le graphique 1, on observe le doublement de l’image quand on augmente la variable de une unité. En parallèle, on observe dans le graphique 2 que l’image et la pente de la tangente varient en restant dans le même rapport. Ce deuxième fait est moins évident à voir mais la valeur numérique de ce rapport reste bien constante.

Le deuxième fichier reprend les deux mêmes graphiques mais avec la base de l’exponentielle définie par un curseur. En faisant varier la base, on peut observer dans le graphique 1 que les deux images sont dans un rapport égal à la base et dans le graphique 2 que le rapport pente/image varie en fonction de la base. Le logiciel affiche 0,69 pour la base 2 et un nombre supérieur à 1 pour la base 3. On peut alors conjecturer que le rapport 1 est obtenu pour une base entre 2 et 3 et même la situer entre 2,7 et 2,75.

Il ne semble pas nécessaire d’aller plus loin dans la précision par graphique. On peut argumenter au départ de la formule de quotient différentiel.

On part de

 (exp_a )' (x) =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{a^{x+ \Delta x}-a^x}{\Delta x} =a^x. \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{⁡a^{\Delta x}-1}{\Delta x}

On cherche une base a telle que

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}⁡\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1.

Pour un  \Delta x suffisamment petit,

\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} \approx 1

et donc

 a^{\Delta x} -1 \approx \Delta x

ce qui s’écrit encore

a^{\Delta x}\approx \Delta x+1

Et enfin

 a \approx (\Delta x+1) ^{\frac{1}{\Delta x}}

En calculant des valeurs pour des  \Delta x de plus en plus petits, on obtient une suite qui se stabilise vers e = 2,7182818…

On obtient ainsi sous une autre forme une des définitions possibles du nombre e

  e=\lim_{n \rightarrow \infty}⁡(1+\frac{1}{n})^n .