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Accueil du site || Thèmes || Analyse || Introduction aux tangentes et dérivées avec le logiciel GeoGebra

Cette séquence d’activités a pour but d’introduire, en s’aidant du logiciel GeoGebra, les nombres dérivés et la fonction dérivée en associant étroitement le sens géométrique et le sens algébrique de ces notions, tout en faisant un détour par la cinématique.

Nous débutons dans le domaine géométrique en cherchant, par l’activité 1, à caractériser localement la croissance ou décroissance d’une fonction par la pente d’une droite qui colle le mieux possible à la courbe. Le logiciel GeoGebra, notamment l’outil "zoom" , est bien indiqué pour cette tâche. Pour une fonction du 2ème degré, on peut assez facilement conjecturer la pente de cette droite en un point à coordonnées entières. Pour une fonction du 3ème degré, la situation est plus difficile.

Pour contourner la difficulté, nous passons à un tout autre domaine, celui de la cinématique. A l’activité 2, nous nous intéressons aux concepts de vitesse moyenne et de vitesse instantanée pour un mobile soumis à un freinage. Nous proposons des calculs explicites de vitesses moyennes sur des intervalles de temps débutant à un même instant et de longueur de plus en plus réduite.

Pour les activités 3 et 4, nous invitons les élèves à utiliser le logiciel pour tracer la fonction « espace parcouru en fonction du temps » de l’activité précédente. Les calculs des vitesses moyennes sur des intervalles de temps débutant à un même instant donnent lieu à des interprétations graphiques intéressantes : on découvre que ces vitesses, quotients de différences, donnent les pentes de sécantes passant par un point du graphe de la fonction. Nous suggérons une construction graphique de cette famille de sécantes. Et on peut montrer avec le logiciel que si l’écart entre les deux points qui définissent la sécante tend vers 0, la droite sécante disparait. Nous espérons que ce petit événement visuel sera instructif pédagogiquement. Nous pouvons à ce moment définir rigoureusement une tangente en un point comme la droite dont la pente est la limite des pentes des sécantes choisies judicieusement.

A ce moment, une synthèse en trois parties se dégage : les points de vue cinématique, géométrique et algébrique se complètent mutuellement dans la perception du concept de dérivée.

Les activités 5 et 6 réutilisent les fonctions étudiées à l’activité 1.

Pour la première fonction, qui est une fonction quadratique, nous proposons de construire les quotients différentiels relatifs au point observé, d’en calculer la limite et de comparer le nombre dérivé obtenu avec la pente déterminée à vue précédemment. En rassemblant les résultats pour les différentes abscisses, on fait émerger le fait que chaque nombre dérivé obtenu est le double de l’abscisse correspondante et ainsi la fonction dérivée peut être dégagée. On la calcule formellement.

Pour la seconde fonction, qui est une cubique, nous reprenons le tableau des pentes construit et proposons deux cheminements pour découvrir le graphe de la fonction dérivée :
- Nous comparons les pentes des tangentes construites à vue avec les pentes des tangentes fournies par le logiciel. Nous utilisons ensuite l’outil "trace" pour créer la fonction qui attribue à chaque abscisse, la pente correcte de la tangente.
- Nous associons les abscisses et les pentes dans un tableur, faisons apparaître un nuage de points, utilisons l’outil "ajustement polynomial" pour créer une fonction qui n’est rien d’autre qu’une approximation de la fonction dérivée. Nous la contrastons avec la fonction dérivée fournie par le logiciel.

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