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En découpant une série de rectangles ou de parallélogrammes identiques en deux morceaux et en assemblant ces deux morceaux, on construit des familles de parallélogrammes de même aire. On découvre ainsi les liens qu’il y a entre la base, la hauteur et l’aire du parallélogramme, ce qui amènera la formule d’aire.

Public : 10-11 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

 

Activité n° 1 : construction de parallélogrammes à partir d’un rectangle

1) Découper un rectangle

Matériel

Une série de 6 rectangles identiques par élève, rectangles dont une longueur est en gras.

Une longue bandelette sur laquelle est dessiné un des rectangles reçus et sur laquelle l’élève devra coller les parallélogrammes construits.

a) Transformez les rectangles reçus en différents parallélogrammes, en donnant un seul coup de ciseaux en partant de la base (côté en gras) et en assemblant les 2 morceaux obtenus. Collez-les sur la bandelette reçue en plaçant la base (le côté en gras) du parallélogramme sur les pointillés .

b) Prenez la bandelette avec le rectangle et les parallélogrammes construits et comparez-les. Quelles sont les ressemblances ? Quelles sont les différences ?

Solution

Tous les parallélogrammes obtenus ont la même base et la même aire. Les figures sont comprises entre deux parallèles. L’écart entre les parallèles est appelée hauteur du parallélogramme. La deuxième parallèle n’est pas tracée, il faut l’imaginer. Il est intéressant de la faire tracer par les élèves, afin de s’assurer que tous la perçoivent.

Les parallélogrammes diffèrent quant à la longueur des côtés obliques, au périmètre et aux angles.

Remarquons que si les élèves coupent de la base vers un côté latéral, ils n’obtiennent pas de parallélogramme.

2) Dessiner des parallélogrammes

Continuez la série d’exemples en traçant sur la bandelette un autre parallélogramme qui aurait pu être obtenu par découpage et qui aura donc les mêmes ressemblances que celles qui ont été découvertes.

Montrez en quoi le parallélogramme dessiné ressemble aux autres.

Si la deuxième parallèle n’a pas été découverte et tracée, il y a des risques que le dessin ne soit pas correct. L’intérêt de cette activité, difficile, est donc aussi de mettre en évidence l’importance de l’écart entre les deux parallèles. Une autre difficulté est de respecter la longueur de la base.

3) Découper autrement

On donne une autre série de rectangles, identiques aux précédents (n°1). Mêmes consignes qu’au n°1, mais cette fois c’est une largeur qui est en gras. On donne une nouvelle bandelette pour coller les parallélogrammes.

Solution

Mêmes ressemblances et différences qu’au n°1.

4) Comparer les rectangles de départ

Prenez les 2 bandelettes et comparez les rectangles qui ont servi de point de départ.

Solution

Il s’agit de deux rectangles identiques transformés en parallélogrammes soit en prenant comme base la longueur, soit en prenant comme base la largeur . Ce changement de point de vue est mis en évidence par la disposition suivante.

5) Une vue d’ensemble

Dessinez de chaque côté du rectangle un parallélogramme qui aura la même aire que celle du rectangle. Justifiez.

Piste
Pensez à tracer la deuxième parallèle. Il faudra en tracer deux, une parallèle à chaque base.

Solution

Les élèves peuvent partir du rectangle et le déformer par découpage, réel ou mental. Ou tracer des parallélogrammes respectant les caractéristiques citées. Pour justifier la solution, on peut évoquer un découpage du rectangle vers le parallélogramme ou du parallélogramme vers le rectangle. Rappelons que la formule d’aire du parallélogramme n’est pas encore connue.

Activité n°2 : construction de parallélogrammes à partir d’un parallélogramme

Même progression que dans l’activité n°1, mais au départ d’un parallélogramme.

Matériel

Parallélogramme de départ

Première bandelette

Deuxième bandelette

Activité n°3 : modifier la figure (rectangle ou parallélogramme) en gardant la même aire

En dessinant, transformez chaque rectangle en parallélogramme de même aire et chaque parallélogramme en rectangle de même aire, dans les deux directions possibles.

En écrivant un n° à l’intérieur, rangez toutes les figures (les originales et les figures dessinées) de la plus petite aire à la plus grande, sans latte.

Les aires des parallélogrammes obtenus au départ d’une même figure sont égales si la consigne a été respectée.

Pour comparer les aires des figures de départ, on peut mesurer celles-ci en utilisant le rectangle et en comptant le nombre de carrés de la trame.

Activité n° 4 : découper et assembler mentalement

Appariez chaque parallélogramme à la découpe du rectangle correspondant.

Solution

A et 4, B et 3, C et 6, D et 1, E et 2, F et 7, G et 5

Appariez chaque parallélogramme au rectangle de même aire.

Solution

A et 4, B et 3, C et 1, D et 2

Activité n° 5 : découper et assembler avec Apprenti Géomètre

Cette activité a été réalisée en classe à l’aide du logiciel « Apprenti géomètre » [1] (logiciel conçu par le CREM, téléchargeable gratuitement).

Faites apparaître un rectangle. Découpez le rectangle en deux morceaux qui vous permettront de construire un parallélogramme de même aire que le rectangle original. Déplacez les morceaux pour construire le parallélogramme.

Réalisez quatre fois ce travail : deux fois en prenant la longueur comme base et deux fois en prenant la largeur du rectangle comme base.

Recommencez ce travail en partant cette fois d’un parallélogramme et découpez-le pour faire apparaître un rectangle et ensuite un parallélogramme.

Refaire les activités 1 et 2 à l’aide du logiciel « Apprenti Géomètre » permet de prendre conscience des gestes faits pour construire le parallélogramme à partir des deux morceaux du rectangle découpé. Les morceaux ont-ils été tournés, retournés ou glissés ? Ici chaque geste apparaît clairement puisqu’il faut à chaque fois choisir le mouvement à exécuter : déplacer, tourner ou retourner. Ces gestes préparent aux translations et aux symétries.

Lorsqu’un rectangle est découpé à l’aide du logiciel, c’est une copie de celui-ci qui est découpée, l’original restant à disposition. Il est alors possible de superposer le parallélogramme construit et le rectangle pour constater que la base et la hauteur sont bien identiques.

Les parallélogrammes construits à partir de la largeur seront orientés différemment de ceux construits à partir de la longueur, mais grâce aux commandes « tourner » et « déplacer » on pourra les superposer aux parallélogrammes construits à partir de la longueur.

Activité n°6 : modifier un élément caractéristique du parallélogramme

Voici trois parallélogrammes, construits à partir du même rectangle. Ils ont trois points de ressemblance : la même base, la même hauteur et la même aire. Tracez trois nouveaux parallélogrammes en ne modifiant qu’un seul point de ressemblance comme indiqué.

Solution

Il est impossible de respecter les consignes. Si la hauteur du parallélogramme est modifiée, et non la base, l’aire sera modifiée, et vice-versa. Il est également impossible de modifier l’aire du parallélogramme sans modifier la longueur de la base et/ou de la hauteur. L’aire, la hauteur et la base d’un parallélogramme sont liés.

Comme chaque parallélogramme peut être modifié en un rectangle d’aire correspondante, la justification peut se faire en utilisant la formule de l’aire du rectangle. Si la longueur et/ou la hauteur du rectangle varie, l’aire du rectangle est modifiée.

Activité n° 7 : Formule d’aire du parallélogramme

1) Déterminez l’aire de ces parallélogrammes sans rien mesurer, en utilisant comme unité d’aire le carré formé par 4 points.

2) Sans rien mesurer, en tenant compte des informations données, déterminer l’aire de ce parallélogramme de deux façons :
- en prenant comme base le côté de 2,4 cm
- en prenant comme base le côté de 3,6 cm

3) Quelles sont les dimensions dont on a besoin pour déterminer l’aire d’un parallélogramme sans passer par la transformation en rectangle ?

Solution

1) On se basera sur l’aire du rectangle correspondant, en le traçant ou non.

2) On se basera sur l’aire du rectangle correspondant, en le traçant ou non. N’ayant plus de quadrillage en support, on devra utiliser les dimensions correspondant à la base et à la hauteur. Il nous semble intéressant de calculer l’aire en changeant de point de vue, en choisissant le côté de 3,6 cm comme base, puis celui de 2,4 cm. Il est important de s’assurer que chaque élève remarque que dans les deux cas on arrive à la même aire et qu’à chaque fois on multiplie la base par la hauteur.

3) On a besoin de connaître la mesure de la base et de la hauteur correspondante.

Avec le matériel utilisé, on n’a pas su construire de parallélogrammes « très penchés ». L’article Familles de parallélogrammes permet d’aborder ce cas.

Instruments de pensée
Découpage et assemblage
Changement de point de vue

Contenu
Famille de parallélogrammes compris entre deux parallèles, incluant le rectangle.
Notions d’aire, de base, de hauteur
Calcul de l’aire du parallélogramme par découpage
Formule d’aire du parallélogramme
Aire de quelques figures planes

Activité en aval
Familles de parallélogrammes à 10 - 12 ans
Familles de parallélogrammes à 12 - 14 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

notes:

[1] Pour une réflexion sur le travail avec Apprenti Géomètre, voir Nicolas Rouche, Du carton, des ciseaux, du scotch… Ou un ordinateur ?.

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