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Public : 14 – 15 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

 

Voici l’énoncé du théorème de Thalès et sa réciproque dans un triangle.


Une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base si et seulement si elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

Cet énoncé recouvre deux propositions réciproques que l’on peut énoncer comme suit.

Théorème de Thalès. Si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base alors elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

Réciproque du théorème de Thalès. Si une droite découpe sur deux côtés d’un triangle des segments de longueurs proportionnelles, alors elle est parallèle au troisième côté.


Démonstration par les aires de triangles
L’idée de cette démonstration se trouve dans Les Eléments d’EUCLIDE (proposition 2 du livre VI).

Démonstration du théorème de Thalès.

On suppose d’abord BB’ et CC’ parallèles. On veut en déduire que \footnotesize \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}.

On a successivement




{\small \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=
 \frac{\mbox{\rm Aire} BCB'} {\mbox{\rm Aire} ABB'},
car le rapport des aires de deux triangles ayant même hauteur égale celui de leurs bases,



{\small  \frac {\mbox{\rm Aire} BCB'}{\mbox{\rm Aire} ABB'}=
 \frac {\mbox{\rm Aire} BC'B'}{\mbox{\rm Aire} ABB'},
car deux triangles de même base et de même hauteur ont même aire (ou parce deux triangles de même base et ayant leurs sommets opposés sur une parallèle à cette base ont même aire) ,





{\small 
 \frac{\mbox{\rm Aire} BC'B'} {\mbox{\rm Aire} ABB'} = 
\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}},
car le rapport des aires de deux triangles ayant même hauteur égale celui de leurs bases.


Démonstration de la réciproque.

On suppose maintenant que \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}.On veut en déduire que BB’ et CC’ sont parallèles.

Par hypothèse

\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}.

Par ailleurs

\frac{\mbox{\rm Aire} BCB'}{\mbox{\rm Aire} ABB'} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}} \mbox{ \ \ \rm et
\ \  }\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}= \frac{\mbox{\rm Aire} BC'B'}{\mbox{\rm Aire} ABB'},

car les aires de deux triangles ayant même hauteur sont entre elles comme leurs bases.

On en déduit que

\frac{\mbox{\rm Aire} BCB'}{\mbox{\rm Aire} ABB'} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}} = 
\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}= \frac{\mbox{\rm Aire} BC'B'}{\mbox{\rm Aire} ABB'},


et donc

\mbox{\rm Aire} BC'B' = \mbox{\rm Aire} BC'B'.

Comme les triangles BCB’ et BC’B’ ont la même base et qu’ils ont même aire, leurs troisièmes sommets sont sur une droite parallèle à leur base commune [BB’] (puisqu’ils doivent avoir même hauteur ; voir aires de triangles ). Autrement dit, CC’ est parallèle à BB’.

Activités en amont
Travailler sur les aires de triangles à 10-12 ans
Aller plus loin sur les aires de triangles en travaillant le changement de point de vue à 12-13 ans
Une activité pour découvrir la démonstration

Instruments de pensée
Mouvement , déformation de figures et familles de figures
Changement de point de vue
Isoler par la pensée
Se servir d’une situation intermédiaire

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